/  Статьи

Считаем IQ

Александр Ларионов

Идея количественно оценить интеллектуальные способности человека «созрела» уже достаточно давно. В конце XIX века этой идеей болели многие исследователи. Среди них Френсис Гальтон, Джеймс Кеттэл, Альфред Бине.

Первые попытки построить тест интеллекта выглядели, с современной точки зрения, достаточно странно - они измеряли антропометрические данные: скорость движения конечностей, пороги чувствительности кожи, время реакции на звук, время, необходимое для определения цвета и даже величину давления на лобную часть головы до момента появления болезненных ощущений. Вскоре, сами иследователи пришли к выводу, что умственные способности такие тесты не измеряют.

Прообразом современных IQ-тестов послужила разработанная методика «определения умственного возраста» Альфреда Бине. Тест предназначался для детей и определял уровень их умственного развития. Если ребенок демонстрировал уровень, свойственный более старшим детям, это означало, что его «умственный возраст» выше возраста биологического.

Наконец, понятие IQ, коэффициента умственного развития, ввел Уильям Штерн, предложив это понятие взамен «умственного возраста». Что же это такое? Что имеют в виду, когда говорят, что IQ человека равен 150? Это много или не очень? А какой IQ является «нормальным»? Ответы на эти вопросы сложно отнести к общеизвестным. Давайте попробуем разобраться, не так уж все и сложно.

***

Первым делом нам предстоит определиться с вопросом: а что же такое интеллект? И это будет непросто. Современные исследователи если и ушли далеко в этом вопросе, то каждый из них шел в своем направлении. Единой точки зрения на этот вопрос нет. И нам останется всерьез (насколько получится) придерживаться выраженной в шутку парадоксальной позиции Ганса Айзенка: интеллект - это то, что измеряется тестом интеллекта.

Давайте зайдем с другой стороны. У нас есть измерительный инструмент - IQ-тест. И нам нужно «придумать» способ представления его результатов в виде, понятном всем, и независящий от содержания самого теста.

Самый простой показатель, который мы можем посчитать, проанализировав ответы одного человека, - это количество верных ответов. Пусть, в нашем тесте 60 заданий. А я верно ответил на 37. Это много или мало? С одной стороны, ответил больше, чем на 50% всех заданий, но... может быть задания были такими простыми, что все мои коллеги, прошедшие тест, верно ответили минимум на 55 заданий. И тогда мой результат уже не выглядит таким выдающимся.

Чтобы понять, удачно ли я прошел тест, необходимо рассмотреть результаты других людей. Построим график - как люди решали задания теста. По оси Х у нас будет количество решенных заданий. По оси Y - количество людей, которые решили именно это число заданий. Получится что-то вроде такой картинки:

Если Вы хотите пропустить математическую часть, можно сразу перейти к выводам.

Наш тест состоит из 60 заданий. Человек, пытающийся их решить, может справиться с любым их количеством - от 0 до 60 (всего 61 вариант). 61 столбик на графике показывает количество людей, решивших соответствующее число заданий.

Из графика видно, что ровно 37 заданий из всего теста решили ровно 59 человек (посмотрите на высоту 37-го столбика), что все задания теста не решил никто (столбика 60 просто нет). И нашелся один «самый умный» или «удачливый», которому удалось справиться с 59 заданиями (очень короткий 59-й столбик). Может быть, он просто подглядывал в ответы?

Основная масса людей решила от 35 до 50 заданий. Это можно отметить по местоположению «горба» на графике. А некоторый «всплеск» в левой части графика (столбцы от 0-го до 10-го) обязан своим появлением, видимо, тем людям, которые и не пытались решать задания, а просто смотрели тест, изредка выбирая ответы и иногда угадывая. Для более надежных результатов, этих людей из рассмотрения хорошо бы исключить. Например, так:

В свете этого графика мой результат (37 верно решенных заданий) уже не выглядит таким хорошим, как показалось вначале. Действительно, большинство людей решило большее количество заданий, чем удалось мне. Зная высоту столбиков, можно, даже, посчитать, сколько человек показали результаты выше и ниже моих. Не будем утруждаться подсчетом высоты столбцов вручную, это уже сделал компьютер.

Ровно 37 заданий, как и я, решили 59 человек. Менее 37 заданий (то есть от 0 до 36 заданий включительно) решили в общей сложности 377 человек (377 - это просто сумма высот всех столбиков, расположенных на графике левее 37-го столбца). Более 37 заданий (от 38 до 60 включительно) решили 926 человек. Кстати, эти цифры означают, что тест проходили 1361 человек. Не так ли?

Итак, 68% всех людей, работавших с тестом, справились с ним лучше меня. Чуть более 27% показали худший результат. И чуть более 4%, справились так же, как и я. Эти 4 с копейками процента портят всю картинку - я же хочу знать свое положение среди проходивших тест ТОЧНО, а не приблизительно (с точностью до 59 человек). К счастью, «проблему» людей, верно ответивших на столько же заданий теста, как и я, решить нетрудно. Просто, будем считать, что половина от этих 4 с небольшим процентов (29 с половиной человек) решили тест хуже меня, а другая половина (другие 29 с половиной человек) - лучше. Да, математические модели могут оперировать с половинками людей.

Все это в итоге означает, что решая задания теста, я обогнал ((377 + 29,5) / 1361) • 100% = 29,84% всех участников тестирования. Иными словами, мой ПРОЦЕНТИЛЬ (с ударением на «И») равен 29,84%. Это очень важный показатель. Его уже достаточно для ответа на вопрос «Хорош ли мой результат?» (ответ будет - «А как Вы сами считаете?»). Но это еще не IQ!

Итак, человек, набравший в тесте X баллов, получает процентиль, который считается как процент от количества всех участников тестирования [количества людей, набравших балл меньший X, плюс половины количества людей, набравших балл равный X].

***

Математикам хорошо известно, что если на какой-то показатель влияют множество «почти случайных» факторов, которые никто не в состоянии учесть, то скорее всего, такой показатель будет похож на случайную величину с «нормальным распределением». Слово «нормальным» здесь не должно никого обманывать. «Нормальное» оно только по названию, а его график - это колоколообразная кривая, как на рисунке ниже. Уровень интеллекта как показатель, зависящий от множества факторов, которые нельзя учесть математически (семья, воспитание, образование, профессия, интересы, мотивы, жизненный опыт, круг общения, настроение в момент тестирования) по мнению тестологов, тоже должен быть распределен на всей популяции «нормально». Например, так:

График показывает «желаемое» распределение баллов IQ на всей популяции. За «средний IQ» приняли балл 100 (это и есть «самый нормальный IQ» или IQ среднего человека). А отклонения в большую и меньшую сторону, моделируются факторами, которые невозможно рассчитать точно, а можно учесть только статистически. Что и делается при помощи «нормального распределения с параметрами 100 (среднее) и 15 (стандартное отклонение)». Обратите внимание на вид нормального распределения. Чаще всего встречаются люди с IQ=100 или около того. Чем сильнее отклонения от 100 баллов, тем меньше встречается людей с таким IQ.

Иными словами, балл по принятой сейчас шкале IQ показывает, насколько Ваши результаты отклоняются от результатов «среднего человека», чей IQ измерялся ТЕМ ЖЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫМ ИНСТРУМЕНТОМ (IQ-тестом), что и Ваш.

Перед последним штрихом нам осталось «подружить» два наших показателя развития интеллекта - процентиль, и балл по шкале IQ. Или, точнее, как от процентиля перейти к баллу IQ? Это можно сделать, рассмотрев интеграл нормального распределения с параметрами IQ-шкалы. Ну, хорошо (это то же самое), площадь под уже нарисованной на последнем рисунке кривой.

Дело в том, что кривая нормального распределения с заданными параметрами (для задания этой кривой достаточно двух параметров - среднего значения (100 для шкалы IQ) и стандартного отклонения (15 для шкалы IQ)) имеет строго определенную форму, рассчитываемую по специальной сложной формуле. Но эта форма известна. И известны все свойства этой кривой. В частности, известна площадь фигур, ограниченных любым участком этой кривой и осью X.

Чтобы перевести процентиль в IQ-балл, мы найдем на оси X (проградуированной в шкале IQ) такую точку, слева от которой будет лежать доля площади, равная нашему процентилю. Иными словами для поиска IQ-балла, соответсвующего процентилю 25, нам нужно найти точку на оси X, слева от которой лежит 25% площади всей фигуры под кривой. Эта точка и даст нам нужное значение IQ. В нашем случае - 90. Процентилю 25 соответсвует IQ-балл 90. Всегда, не только в нашем примере.

Тонкий момент: в данном случае мы работаем с графиком не совсем обычным способом. Мы не ищем значение функции, соответствующее нужному нам значению X (как это бывает обычно), а наоборот, находим значение X, удовлетворяющее сложному условию (слева от этого значения должна лежать нужная нам доля площади под кривой). И используем найденное значение X в качестве результата. Такое преобразование можно сделать для любого процентиля. Возможно произвести и обратное преобразование - из балла IQ в процентиль.

Обратите внимание, если распределение количества верно решенных заданий в нашем тесте (первые два рисунка) только напоминает «нормальное», то распределение баллов IQ (два следующих рисунка) - уже обязательно нормально. Оно «нормализуется» описанной выше процедурой преобразования.

Вот и все. Процедура не так сложна, как может показаться на первый взгляд. И может быть очень просто выполнена в Excel’е (с использованием функций NORMDIST и NORMINV). Благо, функция, описывающая форму кривой нормального распределения хоть и сложна на вид, но очень хорошо исследована и может быть легко рассчитана.

***

Выводы

  1. Средний или «нормальный» балл IQ равен 100. Это не потому, что «так получилось». Это потому, что таковы свойства принятой для удобства IQ-шкалы.

  2. Измеренный IQ балл показывает, насколько сильно отклоняются Ваши способности от способностей «среднего человека». Более существенные отклонения как в большую, так и в меньшую сторону встречаются гораздо реже, чем незначительные. Значения IQ, большие 135 (или меньшие 65) встречается менее, чем у 1% людей. Это - также свойство шкалы IQ.

  3. IQ-балл - это не абсолютный показатель, а относительный. Реально существующие измерительные инструменты (тесты) сравнивают Вас не со всей популяцией, а с другими людьми, прошедшими ту же процедуру измерения, что и Вы. Это означает, что если Вы будете мерить свой IQ вместе с нобелевскими лауреатами, результаты Вас вряд ли удовлетворят. Померить же IQ по всей популяции (или хотя бы, этносу) пока никому не удалось. Какой IQ у Джорджа Буша на самом деле, не знает никто.

  4. IQ-тесты, находящиеся в свободном доступе, включая наш тест (http://bss-around.ru/i/ciq/ciq2.exe) привлекают людей, заинтересованных в измерении собственного IQ. У таких людей и IQ, как привило, высок (у людей с низким IQ, обычно, гораздо меньше желания его измерять). Это значит, что проходя свободные IQ-тесты, Вы состязаетесь с сильными соперниками. И значит, Ваши показатели обязательно будет заниженными! У всех в разной степени, но обязательно - у всех! Скорректируйте показатель для себя «в нужном направлении».

  5. Чтобы надежно измерить IQ, нужно состязаться как можно с большим количеством людей. Более того, чтобы зарегистрировать сильные отклонения IQ, нужны очень значительные выборки. К примеру, чтобы получить IQ-балл, равный 145 необходимо обогнать не менее 99,865% участников тестирования. А это можно сделать ТОЛЬКО в том случае, если самих участников - не менее 370 человек (по определению процентиля).

  6. На настоящий момент неизвестны измерительные инструменты, способные надежно измерять IQ, значительно отклоняющийся от среднего. Если Вам говорят, что чей-то IQ больше 145 или меньше 55 (три стандартных отклонения от 100 в обе стороны), есть повод усомниться. IQ может быть выше или ниже, только способов померить такие отклонения пока не придумано и ошибка измерения даже в самой надежной проецедуре начинает превышать все допустимые границы. Хотя, считаться обладателем IQ=175, все равно, очень приятно.

  7. По IQ-баллу можно понять, какой процент людей выполнили ту же тестовую процедуру хуже Вас. Сколько процентов выборки Вы обогнали по результатам теста (Ваш процентиль) можно примерно определить по табличке:



       IQ-балл      Процентиль   
    550,14 %
    600,38 %
    650,98 %
    702,28 %
    754,78 %
    809,12 %
    8515,87 %
    9025,25 %
    9536,94 %
    10050,00 %
    10563,06 %
    11074,75 %
    11584,13 %
    12090,88 %
    12595,22 %
    13097,73 %
    13599,02 %
    14099,62 %
    14599,86 %


    По этой же табличке Вы можете производить обратное преобразование - примерно перевести свой процентиль по любой измерительной процедуре в балл по шкале IQ (помните только, что перевод показателя в шкалу IQ не означает автоматически получение коэффициента IQ в общепринятом понимании).

Удачных измерений!

***

Изучить проблематику измерения IQ более подробно Вы можете в статье Кена Ричардсона «Что измеряют IQ-тесты?». Для перехода к ней кликните по ссылке «Дальше».

Электронная почта: hi@bssl.ru
Телефон в Москве: +7 (495) 796-5599
Телефон в Санкт-Петербурге: +7 (812) 943-5511
BSSL © ООО «Бизнес Софтвер Солюшенс», 2005-2016
ОГРН 1057749634568
All rights reserved
www.bssl.ru